리우빌 정리 (복소해석학)

복소해석학에서 리우빌 정리(영어: Liouville's theorem)는 복소 평면 위의 유계 정칙 함수가 상수 함수라는 정리다.

정의

리우빌 정리에 따르면, 복소 평면 $\mathbb {C}$ 위의 함수 $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $f$는 상수 함수이다.
• $f$는 (복소 평면 전체에서) 유계 정칙 함수이다.

증명

리우빌 정리는 테일러 급수 전개를 사용해 간단히 증명할 수 있다. 즉, 유계 함수의 경우, 테일러 급수의 계수가 (상수항을 제외하고) 모두 0이어야 한다는 것을 보이면 된다.

상수 함수가 유계 정칙 함수인 것은 자명하다. 반대로, 유계 정칙 함수 $f$가 주어졌다고 하자. 이는 테일러 급수로

$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$

로 나타낼 수 있다. 그렇다면 임의의 양의 실수 $r\in \mathbb {R} ^{+}$에 대하여, 다음과 같은 부등식이 성립한다.

$|a_{k}|=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|\zeta |=r}{\frac {f(\zeta )}{\zeta ^{k+1}}}\,d\zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{|\zeta |=r}{\frac {|f(\zeta )|}{|\zeta |^{k+1}}}\,|d\zeta |\leq {\frac {\sup _{\mathbb {C} }f}{r^{k}}}$

$r$는 임의의 양의 실수이므로,

$|a_{k}|\leq \lim _{r\rightarrow \infty }{\frac {\sup _{\mathbb {C} }f}{r^{k}}}=0\qquad (k>0)$

이다. 즉,

$a_{k}=0\qquad (k>0)$

이며, $f$는 상수 함수이다.

따름정리

대수학의 기본정리

리우빌 정리를 사용해 대수학의 기본 정리를 쉽게 증명할 수 있다. $p\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$가 상수가 아닌 다항식이며, 근을 갖지 않는다고 하자. $n$차 다항식의 경우, 충분히 큰 $|z|$에 대하여

${\frac {1}{2}}|z|^{n}<|p(z)|$

이므로,

$|p(z)|>|p(0)|\quad \forall |z|>r$

인 $r\in \mathbb {R} ^{+}$를 찾을 수 있다. $p$는 근을 갖지 않으므로, $1/p$는 복소 평면 위의 유계 정칙 함수이다. 따라서, 리우빌 정리에 의하여 $p$는 상수 함수가 되는데, 이는 가정과 모순된다.

극점이 없는 타원 함수의 부재

리우빌 정리에 따라서, 극점이 없는 타원 함수는 상수 함수이다. 극점이 없는, 주기가 $\omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C}$인 타원 함수는 콤팩트 집합 $\{s_{1}\omega _{1}+s_{2}\omega _{2}|s_{1},s_{2}\in [0,1]\}$ 위에서 최댓값을 가져 유계 함수이므로, 리우빌 정리가 적용된다.

상수 함수가 아닌 복소 평면 위 정칙 함수의 상은 조밀

정칙 함수 $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$의 상 $f(\mathbb {C} )\subset \mathbb {C}$은 하나의 점만을 포함하거나, 아니면 $\mathbb {C}$의 조밀 집합이다. 이 역시 리우빌 정리로부터 쉽게 증명할 수 있다. 만약 정칙 함수 $f$에 대하여, 모든 $z\in \mathbb {C}$에 대하여 항상 $|f(z)-w_{0}|>r$라고 하자. 그렇다면

$z\mapsto {\frac {1}{f(z)-w_{0}}}$

는 복소 평면 위의 유계 정칙 함수이므로, $f$는 상수 함수이다.

일반화

피카르의 소정리는 서로 다른 둘 이상의 복소수를 함숫값으로 갖지 않는 모든 전해석 함수는 상수라는 내용이다. 즉 모든 복소수 $z$에 대해 $f(z)\neq a$, $f(z)\neq b$인 서로 다른 두 복소수 $a,b$가 존재하면 $f$는 반드시 상수이어야 한다. 이 정리는 리우빌 정리를 함의한다.

역사

리우빌 정리는 1844년에 오귀스탱 루이 코시가 최초로 증명하였다.

1847년에 조제프 리우빌이 극점이 없는 타원 함수가 상수 함수임을 증명하였다. 이는 오늘날 "리우빌 정리"라고 일컬어지는 결과의 따름정리다.

참고 문헌

• Greene, Robert E.; Steven G. Krantz. 《Function theory of one complex variable》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 40 3판. ISBN 978-0-8218-3962-1. MR 2215872. Zbl 1114.30001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Liouville's boundedness theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.